☆ Méthode de Monte-Carlo

Dans un repère orthonormé \((\text{O} ; \text{I}; \text{J})\), on considère les points \(\text K(1;1)\) et \(\text M(x;y)\).
Dans le carré \(\text{OIKJ}\), on considère le quart de disque \({D}\) de rayon \(1\) et de centre \(\text O\).

On admet l'équivalence suivante : \(\text M \in D \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c} 0 \leqslant x \leqslant 1\\0 \leqslant y \leqslant 1\\x^2 + y^2 \leqslant 1\\ \end{array}\right.\).

1. Calculer l'aire du quart de disque \(D\).

2. Soit \(n \in \mathbb{N}^{\star}\). On tire au hasard \(n\) points dans le carré \(\text{OIKJ}\). Lorsque \(n\) est grand, sauf exception, de quelle valeur la fréquence observée des points appartenant à \(D\) est-elle proche ?

3. On considère le script inachevé ci-dessous.

    a. Compléter les lignes 6 et 7.
    b. Expliquer la condition \(\texttt{x**2 + y**2 <= 1}\) de la ligne 8.
    c. Compléter la ligne 11 de telle sorte que la fonction \(\texttt{estimation_pi(n)}\) renvoie une estimation de la valeur de \(\pi\).

4. a. Exécuter la fonction \(\texttt{estimation_pi(n)}\) pour \(n= 10\), \(n = 100\) et \(n = 1000\).
    b. On a \(\pi \simeq 3.141592653589793\). Que constate-t-on lorsque la taille de l'échantillon augmente ?
    c. Quel modèle probabiliste cet exercice illustre-t-il ?